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欧洲联赛 · 2019-06-17

本文来历:微信大众号“中科院物理所”

摘要

本文介绍非相对论量子力学的九种办法。它们别离是动摇办法,矩阵办法,途径积分办法,相空间办法,密度矩阵办法,二次量子化办法,变分办法,导航波办法和哈密顿-雅可比办法。一起还说到多国际诠释和买卖诠释的理论。全体上来看这几种办法在数学表明上以及概念上都有显着的差异,但它们却对试验成果做出了彻底相同的猜测。

一、为什么关怀多种表明办法?

经典力学的高档课程会花费许多时刻来评论经典力学的各种办法——牛顿力学,拉格朗日力学,哈密顿力学,最小效果量原理等(能够拜见附录A)。但这些在高档量子力学课程上却没有呈现!事实上,乃至在研讨生课程中也都在一起地着重动摇办法,而几乎不注重其它几种办法。之所以这样做,原因是清楚清楚的——即便只学习量子力学的一种办法都现已很难了。但必定有聪明的同学会有疑问,已然咱们能学几种经典力学的办法,那么为什么就不能学几种量子力学的办法呢。本文介绍了九种量子力学的办法。

已然这些力学办法会对试验成果给出彻底相同的猜测,咱们为什么还要学这么多呢?我想至少有三个原因使咱们需求学习它们。榜首,有些问题用一种办法表明很困难,而用另一种办法表明则将变得简略得多。例如经典力学中拉格朗日力学答应呈现广义坐标,在许多状况下它要比牛顿力学简略一些。第二,不同的办法将给人以不同的视角。例如在经典力学中牛顿力学和最小效果量原理别离用不同的图示来展现“国际是怎样运转的”。第三,不同的办法在不同的景象下很简略推行到新的理论中。例如,拉格朗日力学能够适当简略地从保存经典力学推行到保存相对论力学,而牛顿力学则能够很简略地从保存经典力学中推行到经典耗散力学。正如化学家E.Bright Wilson所说:

“我曩昔常常去找J.H.Van Vleck,向他讨教量子力学方面的问题。我发现他十分有耐性,并且十分乐于协助我。但有时他会用一种混合了动摇力学,算符积分以及矩阵运算的大杂烩给我讲,这让我这个牵强是薛定谔方程新信徒的人倍感苦恼。我不得不学着用另一种言语来考虑,当然这些对我来说也是肯定有必要的。”

当然想要历数这些办法,不可防止地要辨明什么是量子力学的“办法(formulations)”,什么是量子力学的“诠释(interpretations)”。咱们在此的意图仅仅去辨明不同的数学办法,但数学办法仍是会影响概念的解说(或受概念解说的影响),所以这种差异办法的归纳绝不或许是清楚的。咱们也意识到其他人或许会有彻底不同的区别办法。此外还有一个附加的困惑,哥本哈根解说这个术语包含甚广,但界说却十分不严厉。例如哥本哈根的两个首要奠定者之一维纳 . 海森堡曾说过“方位的观测会影响动量”,而尼尔斯.波尔则特别敌对“相”的概念,咱们常常会发现他在物理作品中说到比如“丈量会搅扰现象”的话。

附录A:经典力学的各种办法

咱们知道的经典力学的办法有以下几种:

牛顿力学

拉格朗日力学

哈密顿力学

哈密顿原理(费曼和朗道称作最小效果量原理)

莫陪督最小效果量原理(也与欧拉、拉格朗日、雅可比等人有关)

最小束缚(高斯)

最小曲率(赫兹)

吉布斯-阿佩尔

泊松括号

朗格朗日括号

刘维尔方程

哈密顿-雅可比方程

这些办法在任何一本经典力学教科书中都或多或少地谈论过。在这本书中有对它们清楚、广泛地研讨:

E. T. Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, 4th ed. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1937 .

二、九种办法

1、矩阵办法(海森堡)

沃纳海森堡

量子力学的矩阵办法,由海森堡于1925年开展出来。这是榜首种被发现的量子力学办法。而现在广泛被运用的薛定谔的动摇办法则比矩阵办法的发现晚大约六个月。

在矩阵办法中,每一个力学观丈量(例如方位、动量或能量)在数无敌之界面灾星学上都被表明为一个矩阵(也称作一个算符)。对一个有N(大多数状况下N=)个态的体系来说,这些矩阵将是一个 的厄毛宁的老婆是谁米矩阵。一个量子态

数学上就表明为 一个 1的列矩阵。

与试验结合

假定观丈量的值由算符 表明。然后关于恣意函数(),在 态丈量()的期望值则为

()

这个式子不仅仅依赖于,还依赖于()。它不仅能够用来求期望值,还能够用来求不承认性(只需求取)。事实上,还能够由()来求本征值的谱。如下:考虑一个实数集1, 2, 3, … 以及非负函数

那么调集1, 2, 3, …将构成的本征值,当且仅当

在矩阵办法中特别着重算符的方位,本征问题在其间看起来是如此地天然。但人们也发现了它在核算含时变量或考虑全同粒子时却不那么天然了。这些问题在随后二次量子化中则能够很天然地处理。

含时性

与观丈量能量相应的算符称为哈密顿量,表明为。任何一个算符随时刻的改动为

而态不随时刻改动。

运用

在许多运用上(或许是大多数),动摇力学相较矩阵力学都更直接。但一个破例是,关于谐振子的问题,动摇力学要用不流畅难明的厄密多项式来处理,而矩阵力学的算符分化的技巧(升、降阶算符)则要清楚简略的多。相同,在角动量的评论中也用到了相同的技巧。更广义的分化办法(下面Green的书中有描绘)能够处理更广义的问题,不过其带来的杂乱性也使得用动摇方程看起来更经济一些。

引荐参阅

现代对量子力学的处理大多是混合了动摇和矩阵办法,但更着重动摇的一面。若想参阅那些较为着重矩阵办法的文献,咱们引荐

1. H. S. Green, Matrix Mechanics P. Noordhoff, Ltd., Groningen, The Netherlands, 1965 .

2.T. F. Jordan, Quantum Mechanics in Simple Matrix Form Wiley, New York, 1986 .

前史

矩阵力学办法是多种量子力学办法中榜首个被发现的。原始文献有

3. W. Heisenberg, “Uber die quantentheoretische Umdeutung kinematis- cher und mechanischer Beziehungen”, “Quantum-theoretical re- interpretation of kinematic and mechanical relations” , Z. Phys. 33, 879893 1925 .

4. M. Born and P. Jordan, “Zur Quantenmechanik,” “On quantum me- chanics” , Z. Phys. 34, 858 888 1925 .

5. M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan, “Zur Quantenmechanik II”, Z. Phys. 35, 557615 1926 .

这三篇文献(还有一些其他)被译成英文

6. B. L. van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics North-Holland, Amsterdam, 1967 .

不承认原理在该理论成型两年后提出

7. W. Heisenberg, “U ber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretis- chen Kinematik und Mechanik”, “The physical content of quantum kinematics and mechanic” , Z. Phys. 43, 172198 1927 English translation in J. A. Wheeler and W. H. Zurek, editors, Quantum Theory and Measurement Princeton University Press, Princeton, NJ, 1983 , pp. 62 84 .

2、动摇办法(薛定谔)

埃尔温薛定谔

比较矩阵办法,量子力学的动摇办法把留意力从“可丈量”搬运到了“态”上。两粒子的体系的态(疏忽自旋)数学上表明为一个六维位形空间的复函数,即

另一种等价的挑选是,咱们能够在六维动量空间中表明这个态

薛定谔引进这种办法的意图是期望能够把量子力学写成一种契合直觉的办法。但终究他很绝望,由于他发现他的波函数只能存在于位形空间,而不是实践的三维空间。波函数应当被看作是一个核算观测成果的数学东西,而不是一个存在于空间中的物理实体(像足球、氮分子,或电场)。(参阅附录B)

含时性

位形空间波函数随时刻改动的办法为

其间粒子的质量别离为m1,和m2,而V(x1, x2)是经典势能函数。等价的,在动量空间波函数随时刻的改动为

其间是能函数的傅里叶改换为

陈晓丹现任老公

在丈量一个物理量之后,波函数塌缩到一个与该物理量相应的本征函数上。

能量本征态

许多态都没有一个承认的能量。它们的本征方程是

村庄精品

其能谱或许是离散的(量子化的)也或许是接连的,这取决于势能函数V(x1, x2)和能量的本征值。

全同粒子

假如两个粒子是全同的,那么波函数在下标改换的状况下将是对称的或敌对称的

这取决于这两个粒子是波色子仍是费米子。这个联络关于动量空间的波函数也相同建立。

引荐参阅

大多数量子力学的文献都较为着重波函数办法。其间相对较好的教材有

8. L. D. Landau and E空间亿宠之鬼手萌妃. M. Lifshitz, Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, translated by J. B. Sykes and J. S. Bell, 3rd ed. Pergamon, New York, 1977 .

9. A. Messiah, Quantum Mechanics North-Holland, New York, 19亻革族61 .

10. D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics PrenticeHall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1995 .

11. R. W. Robinett, Quantum Mechanics: Classical Results, Modern Sys- tems, and Visualized Examples Oxford University Press, New York, 1997 .

前史

薛定谔在下面这篇文章中榜初次写下位形空间中的能量本征方程

12. E. Schro dinger, ""Quantisierung als Eigenwertproblem Erste Mittei- lung ,"" ""Quantization as a problem of paper values part I "" , Annalen der Physik 79, 361376 1926 .

他在五个月之后写下含时方程(他称之为“实在的动摇方程”)

13. E. Schro dinger, ""Quantisierung als Eigenwertproblem Vierte Mittei- lung ,"" ""Quantization as a problem of proper values part IV "" , An- nalen der Physik 81, 109139 1926 .

英译版别

14. E. Schro dinger, Collected Papers on Wave Mechanics Chelsea, New York, 1978 .

附录B 规范改换

波函数在大多数量子力学评论中都扮演着中心的人物,以至于咱们很简略堕入一种思想办法中,即以为波函数不再是一个数学东西,而是一个物理实体。但考虑一下这个问题,或许咱们就不会再这么以为了。假定一个带电粒子(电荷q)在一个电场中运动,电场能够由一个标量势(x, t)和矢量势A(x, t)描绘。那么位形空间的薛定谔方程为

另一方面,咱们能够用规范改换势来描绘同一个体系

咱们能够证明用新的势来描绘的波函数与本来的波函数之间有这样的联络

规范改换并没有改动这个体系,不论选用哪一种规范改换,咱们核算得到的试验成果都是相同的。可是波函数却实实在在地发作了改动。(其实,概率密度在规范改换下不能也不会改动,所以咱们能够随意地挑选位相,而位相对干与的呼应有贡献)。

3、途径积分办法(费曼)

理查德费曼

途径积分办法(也称为前史求和办法)把咱们的留意力从“态”搬运到了“搬运概率vypr官网”上。例如,假定有一个粒子在时刻坐落x,咱们期望求出在时刻f时该粒子坐落xf的概率有多大。这个概率的值能够这么算:

罗列出从初态到末态的一切经典途径;

核算每一条途径的经典效果量 = ();

给每条途径分配一个正比于 /的“搬运振幅”(调整份额系数以满意归一性);

对一切途径的振幅求和(由于途径是接连的,所以这儿的求和实践上是一种积分,称之为“途径积分”);

求和的成果便是从初态到末态的搬运振幅,其平方即搬运概率。

对其他不同的问题,例如关于粒子从一个动量变到另一个动量,或初态既没有承认的方位也没有承认的动量的状况,上面的程序就需求稍做调整了。

运用

在非相对论量子力学中,用途径积分直接处理问题往往不会很简略。但另一方面,在物理和化学的其他方面却有许多的运用,特别是在经典量子场论以及统计力学中。例如,在量子体系的蒙特卡罗模仿中,途径积分办法是一个很强壮的东西。

15cf单机版,中日翻译,嫦娥奔月-日与夜,年青人在北上广深的斗争进程. M. H. Kalos and P. A. Whitlock, Monte Carlo Methods Wiley, New York, 1986 , Chap. 8.

此外,许多人觉得这种办法更有吸引力,由于其数学办法更挨近经历——中心是搬运概率,而不是观测不到的波函数。因而在教育中途径积分也是很有用的。

16. E. F. Taylor, S. Vokos, J. M. O"Meara, and N. S. Thornber, “Teaching Feynman"s sum over paths quantum theory”, Comput. Phys. 12, 190 199 1998 .

全同粒子

途径积分的这套程序能够直接推行到多个非全同粒子或几个全同的玻色子。(这儿的“途径”现在意味着几个粒子的轨道)不过这套程序却不能相同地直接运用到全同费米子,不然的话费米子和玻色子体现得就彻底相同了。

图 1 假如两个粒子是全同费米子,那么有沟通性的途径的振幅,如III和IV,在求和前必需乘以-1.

对全同费米子来说,正确办法需求再参加一个进程。当罗列从时刻的初态到时刻f的末态的一切经典途径时(图1),留意有一些途径相关于其他途径沟通了粒子(图1中,在途径III和途径IV沟通了粒子,而途径I和途径II没有)。关于费米子途径的振幅分配其实是和前面讲的彻底相同的,仅仅求和之前,要在那些沟通了粒子的途径前乘上一个“-”号。(这其实是泡利定理:在你的脑海里,把两个粒子末态f彼此接近。跟着距离越来越小,途径I的振幅将和途径III的振幅一起,相同,每一个无沟通途径也将和有沟通途径一起。由于因子 -1,在求和进程中这些振幅相消。因而两个全同费米子不能移动到同一个方位。)

这个符号调整关于人类来说并不困难,但对核算机来说却造成了一个很大的应战(被称之为“费曼符号问题”)。以下量子蒙特卡罗模仿的文献中,有对这个问题的评论:

17. N. Makri, “Feynman path integration in quantum dynamics”, Comput. Phys. Commun. 63,389-414 1991.

18. S. Chandrasekharan and U.-J. Wiese, ""Meron-cluster solution of fer- mion sign problems,"" Phys. Rev. Lett. 83, 31163119 1999 .

引荐参阅

19. R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Inte- grals McGraw-Hill, New York, 1965 .

20. D. F. Styer, ""Additions and corrections to Feynman and Hibbs,"" http:// www.oberlin.edu/physics/dstyer/TeachQM/Supplements.html.

21. L. S. Schulman, Techniques and Applications of Path Integration Wiley, New York, 1981 .

帅t与美受

前史

这种办法是在这篇文章里宣布的

22. R. P. Feynman, ""Spacetime approach to non-relativistic quantum mechanics,"" Rev. Mod. Phys. 20, 367387 1948 .

4、相空间办法(魏格纳)

一个束缚在一维上的单粒子,魏格纳相空间散布函数为

这个函数有许多有用的特性:

函数自身是纯实数,可正可负;

对动量的积分能够给出方位的概率密度

对方位的积分能够给出动量的概率密度

假如用一个常数相因子代替波函数,魏格纳函数不变。

给出W(x, p, t),咱们能经过两步求出波函数。首要进行傅立叶改换

然后挑选恣意一点x0,其间W(x0, p, t)不等于零,得

魏格纳函数并不是相空间中的概率密度——按照海森堡的不承认原理是没有这样的实体存在。但它仍是具有几个相同的特性的,因而用“散布函数”这个词应该更恰当一些。

含时性

其间核K(x, p)为

全同粒子

假如波函数在沟通中是对称或敌对称的,那么魏格纳函数将是对称的

这当然并不意味着玻色子和费米子在这种办法中体现的相同:由前面方阜宁焦爱芹程求得的波函数在沟通时仍会显示出原有的对称性。不过这的确表清楚在相空间办法中,沟通对称性比在波函数办法中更难判别。

运用

关于态体系(N或许等于),波函数由N个复数以及一切的相位多值(即2N 1个实数)描绘。关于同一个体系,魏格纳函数需求N2个实数。很显着,魏格纳函数并不是一个记载量子态信息最经济的办法。魏格纳函数在以下状况会比较有用,即比较较为经济的波函数办法,从冗余的魏格纳函cf单机版,中日翻译,嫦娥奔月-日与夜,年青人在北上广深的斗争进程数会更简略得到需求的信息。(例如,动量密度只需求魏格纳函数对方位一个简略的积分即可得到,而从共形空间波函数得到动量密度则需求傅立叶改换的平方)

许多问题,尤其是量子光学上的问题,都能够归入到这儿。能够参阅如下的文献:

23. D. Leibfried, T. Pfau, and C. Monroe, ""Shadows and mirrors: Recon- structing quantum states of atom motion,"" Phys. Today 51, 2228 1998 .

24. Y. S. Kim and W. W. Zachary, editors, The Physics of Phase Space Springer-Verlag, Berlin, 1987 .

主张参阅

25. Y. S. Kim and E. P. Wigner, ""Canonical transformation in quantum mechanics,"" Am. J. Phys. 58, 439448 1990 .

26. M. Hillary, R. F. O"Connell, M. O. Scully, and E. P. Wigner, ""Distribution ns in physics: Fundamentals,"" Phys. Rep. 106, 121167 1984 .

前史

相空间办法由此文初次提出

27. E. P. Wigner, ""On the quantum correction for thermodynamic equilibrium,"" Phys. Rev. 40, 749759 1932 .

5、密度矩阵办法

一个纯态的密度矩阵是其外积

假如给出密度矩阵,那么量子态能够经过这个办法来取得:首要挑选恣意态,所以右矢cf单机版,中日翻译,嫦娥奔月-日与夜,年青人在北上广深的斗争进程(未归一化)等于(只需这个量不等于零)。

密度矩阵也能够(尽管很少)叫做“密度算符”。就像其他的量子力学算符相同,密度算符与所挑选的基态无关,可是算符矩阵的元素

的巨细取决于基态挑选。

密度矩阵办法在处理统计力学常识时十分强壮。例如,假如不知道一个体系的态的详细信息,可是知道是在三个态中的一个——(概率为p), (概率为p),(概率为px)。这个体系咱们称之为“混合态”(与“纯态”敌对)。一个混合态不能够表明为

这是三个原始态的叠加态。相同的,混合态的密度矩阵为

本末节接下来一切的成果都能够运用到纯态和混合态中。

含时性

密度矩阵随时刻的改动

其间

是哈密顿算符。(留意:这儿的式子与矩阵办法中算符随时刻演化的式子有一个符号差)

全同粒子

密度矩阵,和魏格纳相空间散布函数相同,在全同粒子沟通方位的状况下坚持不变,不论它是玻色子仍是费米子。和魏格纳散布相同,这也并不意味着对称性和敌对称性波函数将会体现的相同;这仅仅意味着两者的差异隐藏在了密度矩阵中,而不是实践地显示出来。

运用

关于N态体系(N或许等于),一个纯态波函数由N个复数以及一切的相位多值(即2N 1个实数)描绘。而同一个苏妙龄体系,密度矩阵需求N个实对角元素加上N(N 1)/2个复上对角元素,也即共N2个实数来描绘。可是,经过对这些密度矩阵的迹的操作,加上能够处理混合态,密度矩阵办法能够在物理的多个范畴有运用。特别是这个公式

几乎便是量子统计力学的咒语。

引荐参阅

28. U. Fano, ""Detion of states in quantum mechanics by density matrix and operator techniques,"" Rev. Mod. Phys. 29, 7493 1957 .

29. K. Blum, Density Matrix Theory and Applications, 2nd ed. Pl苏钟平enum, New York, 1996 .

前史

密度矩阵在此文初次提出。

30. J. von Neumann, ""Wahrscheinlichkeitstheoretischer Auf bau der Quan- tenmechanik,""

""Probability theoretical arrangement of quantum me- chanics"" , Nachr. Ges. Wiss. Goettingen,245272 1927 , reprinted in Collected Works Pergamon, London, 1961 , Vol. 1, pp. 208235.

6、二次量子化办法

这种办法起重要效果的是生成和湮灭(粒子)算符。其开展与量子场论有关,在量子场论中这些效果(生成/湮灭)是实在的物理效应(例如,一个电子和一个正电子湮灭生成一个质子)。不过这种办法却有着广泛的运用范畴,特别是能够运用到体系包含许多(但却稳定)全同粒子的多粒子理论傍边。

这种办法不幸的姓名要归因于前史原因——是站在非相对论量子力学的视点起的姓名。更好的姓名应该叫“占稀有办法”。

二次量子生成算符

会在量子态 “生成”一个粒子。单粒子态是由

效果到一个没有粒子的态(真空态)0上构成的。因而下面这几个不同的表明都是描绘cf单机版,中日翻译,嫦娥奔月-日与夜,年青人在北上广深的斗争进程的相同的单粒子态

所以假如只考虑单粒子体系的话,二次量子化办法和波函数办法是等价的(乃至看起来有些蠢笨)。

多粒子体系会怎样样呢?假定,和是正交的单粒子态。那么一个具有两个全同粒子的态是由真空态生成两个粒子发作的,例如。假如这两个全同粒子是玻色子,那么

假如是费米子

这说清楚一个广义的规矩:玻色子生成算符满意对易联络

费米子生成算符满意敌对易联络(这儿敌对易符号A, B = AB + BA。)二次量子化符号在多粒子体系中的有显着的优势。许多物理学家赞同下面这两个式子是等价的:

显着用榜首个更简略。假如还没感觉,能够看看下面这个比照

其等价办法为

当然二次量子化最大的长处还不仅仅是使符号变得简练。波函数办法答应你——事实上,它很简略使你——写下这样的表达式

这个表达式在沟通下既不是对称的也不是敌对称的,所以这个表达式不会是任何全同粒子的量子态。但波函数办法并没有供给任何显着的正告说这个表达式是不合法的。而作为比照,在二次量子化办法中,底子就不或许写出一个像上面这样的表达式——对称性(或敌对称性)会经过生成算符的对易联络(或敌对易联络)主动具有,所以在二次量子化办法中只要合法的态才会被表达。由于这个原因,二次量子化办法在多粒子理论中被广泛的运用。

引荐参阅

31. H. J. Lipkin, Quantum Mechanics: New Approaches to Selected Topics North-Holland,Amsterdam, 1986 , Chap. 5.

32. V. Ambegaokar, ""Second quantization,"" in Superconductivity, edited by R. D. Parks MarcelDekker, New York, 1969 , pp. 13591366.

33. W. E. Lawrence, ""Algebraic identities relating f irst- and second- quantized operators,"" Am. J.Phys. 68, 167170 2000 .

这本书中有对二次量子化办法运用的广泛评论:

34. G. D. Mahan, Many-Particle Physics, 3rd ed. Kluwer Academic, New York, 2000 .

前史

二次量子化由狄拉克研讨光子时引进,随后由约旦(Jordan)和克莱因(Klein)扩展到有质量玻色子,由约旦和魏格纳扩展到费米子。

35. P. A. M. Dirac, ""The quantum theory of the emission and absorption of radiation,"" Proc. R.Soc. London, Ser. A 114, 243265 1927 .

36. P. Jordan and O. Klein, ""Zum Mehrko rperproblem der Quantentheo- rie,"" ""On themany-body problem in quantum theory"" , Z. Phys. 45, 751765 1927 .

37. P. Jordan and E. Wign男孩鸡鸡er, ""U ber das Paulischcf单机版,中日翻译,嫦娥奔月-日与夜,年青人在北上广深的斗争进程e A quivalenzverbot,"" ""On the Paulivalence line prohibition"" , Z. Phys. 47, 631651 1928 .

狄拉克和约旦-魏格纳的文章被重印。

38. J. Schwinger, editor, Selected Papers on Quantum Electrodynamics (Dover, N韩娱之油腻配偶ew York, 1958).

7、变分办法“变分办法”很简略和更为常见的“变分原理” 搞混。后者是给基态能量供给一个束缚,而变分办法则能够给描绘一切态(不仅仅基态)及其随时刻的演化(不仅仅能量)供给一个完好的图画。变分办法类似于经典力学中的哈密顿原理。

在这种办法中中心概念仍cf单机版,中日翻译,嫦娥奔月-日与夜,年青人在北上广深的斗争进程然是波函数,但其随时刻演化的规矩不再是薛定谔方程。让咱们再一次考虑一个非相对论的疏忽自旋的两粒子体系。在一切或许的归一化波函数,正确的那个波函数必需满意使时刻和共形空间的积分效果量抵达极小值:

其间“拉格朗日密度”为

这儿Imz的意思是的虚部。不难证明一点,即此处的极小值原则等价于薛定谔含时方程。

运用

在实践运用层面,这种办法能够直接和变分原理联络在一起,用来估量基态能量。在基础理论层面,咱们留意参与变分技巧常常规则物理规则的办法有必要满意洛伦兹不变性。这在以下三个方面扮演着很重要的人物:

1)在电磁理论中

39. J. Schwinger, L. L. DeRaad, Jr., K. A. Milton, and W. Tsai, Classical Electrodynamics Perseus Books, Reading, MA, 1998 , especially Chaps. 8 and 9,

2)在广义相对论(希尔伯特办法)中

40. C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler, Grav暗香诀itation Freeman, San Francisco, 1973 , Chap. 21,

3)量子场论中

41. C. Itzykson and J.-B. Zuber, Quantum Field Theory McGraw-Hill, New York, 1980 .

正是由于这个原因,现在人们更喜爱以变分办法作为东西把物理拓宽到新范畴。例如超对称弦/膜:

42. E. Witten, ""Reflections on the fate of spacetime,"" Phys. Today 49, 2430 April 1996 .

43. E. Witten, ""Duality, spacetime and quantum mechanics,"" Phys. Today 50, 2833 May 1997 .

可是,在以下这些状况中,变分办法并不直接参与其间:

1)具有固有的非相对论性质;

2)触及时刻和共形空间的积分,而不是时刻和物理空间的积分。

引荐参阅

44. P. M. Morse and H. Feshbach, Metho随身空间之万人迷ds of Theoretical Physics McGraw-Hill, New York, 1953 , pp. 314316 and 341344.

【留意:在这份参阅文献中拉格朗日密度的界说与前文中的有相反的符号,所以Morse和Feshbach的积分效果量在正确的波函数下是极大值,而不是极小值】

前史

这种办法源于该文献(同一篇文章,介绍了有质量玻色子的二次量子化):

8、导航波办法(德布罗意-波姆)

路易维克多德布罗意

咱们用一个电子和一个质子(疏忽自选)体系的比如来归纳导航波办法。在经典力学中这个体系在数学上用三维中两个点的运动轨道来描绘。在波函数办法中这个体系由包含六维共形空间的复值波函数描绘。在导航波办法中这个体系则一起由物理空间中的两点和共形空间中的波函数描绘。波函数在此称为“导航波”,这个导航波(依据其经典势能函数)给两个点供给信息告知它们该怎样运动。

导航波办法最常引证的版别是波姆的(但也应该看一下Durr,Goldstein、Zanghi等的版别)。在波姆的版别中波函数的办法为

假如咱们界说量子势依赖于态

那么咱们的导航波随时刻的演化为

其间

榜首个方程类似于一个哈密顿-雅可比方程;第二个方程就像一个接连性方程,其间P代表概率密度。

这两个点粒子运动的加速度为

换句话说,力不仅仅由经典势的梯度供给,还有量子势的梯度。点粒子的初始势能是不承认的:关于体系全体,初始势的概率密度为。因而和质子有关的粒子及和电子有关的粒子都有一个承认的方位和动量;不过初始的全体不承认性及量子势一起使得对任何一个系综的丈量集都必定满意xp /2。

波函数改动时,量子势

会在共形空间中当即改动,这种机制对量子力学中典型的非局域相关性有贡献。当然有一个更天然的机制阻挠了人们把这种即时改动用到超光速的信息沟通。

运用

要用导航波办法,咱们有必要一起核算轨道和波函数,所以并不古怪,在核算上关于大部分问题这种办法都是十分杂乱的。例如双缝干与现象,这个常常会在大二现代物理问题顶用波函数办法处理,但在导航波办法中则需求cf单机版,中日翻译,嫦娥奔月-日与夜,年青人在北上广深的斗争进程很高的核算技巧:

46. C. Philippidis, C. Dewdney, and B. J. Hiley, ""Quantum interference and the quantum potential,"" Nuovo丁皎年 Cimento Soc. Ital. Fis., B 52, 1528 1979 .

但另一方面,导航波办法在考虑量子力学根本特性的问题上却很有用。例如贝尔(John Bell)关于定域性的划时代理论,其量子理论就遭到导航波办法的启示。且许多聪明的研讨者发现导航波办法自身具有很深入含义。例如:

47. J. S. Bell, ""Six possible worlds of quantum mechanics,"" in Possible Worlds in Humanities, Arts and Sciences: Proceedings of Nobel Sympo- sium 65, 1115 August 1986, edited by S. Alle n Walter de Gruyter, Berlin, 1989 , pp. 359 373. Reprinted in J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1987 , Chap. 20, pp. 181195.

48. H. P. Stapp, ""Review of "The Undivided Universe" by Bohm and Hi- ley,"" Am. J. Phys. 62, 958960 1994 .

引荐参阅

49. D. Bohm, B. J. Hiley, and P. N. Kaloyerou, ""An ontological basis for the quantum theory,"" Phys. Rep. 144, 321375 1987 .

50. D. Bohm and B. J. Hiley, The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory Routledge, London, 1993 .

51. D. Du rr, S. Goldstein, and N. Zangh , ""Quantum equilibrium and the origin of absolute uncertainty,"" J. Stat. Phys. 67, 843907 1992 .

前史

路易斯.德.布洛意在1927年索维会议上初次提出这种办法。但该主意的首要开展开始于:

52. D. Bohm, ""A suggested interpretation of the quantum theory in terms of "hidden" variables, I and II,"" Phys. Rev. 35, 166179 and 180193 1952 .

9、哈密顿-雅可比办法

威廉哈密顿

经典哈密顿-雅可比办法能够体系地找到变量的改动,因而由此导出的运动方程是齐备的。特别是,其成果假如用其他一组称为“效果角”办法的新变量表明,那么咱们能够无需知道运动自身是什么样的,就能得到周期运动的周期。

经典哈密顿-雅可比理论给量子力学的开展供给了重要的启示。(狄拉克的癍痧“改换理论”也相同着重了变量改换的办法,Wilson-Sommerfeld版的旧量子理论依赖于效果角的变量。)但直到1983年Robert Leacock和Michael Pagdett对其作出拓宽,才被以为是一个完好的哈密顿-雅可比办法的量子力学。这种办法的中心概念是“哈密顿原理函数”

,所以

【留意:这个函数或许是复的,这儿的S不是导航波中界说的S】哈密顿原理函数满意量子哈密顿-雅可比方程

【留意:“量子哈密顿-雅可比方程”这个称号除了运用于这个方程,也运用于导航波方程】

假如其成果换成以效果角的办法表明,那么这个办法能够在不需求知道本征函数的状况下得到能量本征值。

引荐参阅

53. R. A. Leacock and M. J. Padgett, “HamiltonJacobi/action-angle quan- tum mechanics”, Phys. Rev. D 28, 24912502 1983 .

54. R. S. Bhalla, A. K. Kapoor, and P. K. Panigrahi, “Quantum Hamilton Jacobi formalism and the bound state spectra”, Am. J. Phys. 65, 1187 1194 1997 .

55. J.-H. Kim and H.-W. Lee, “Canonical transformations and the HamiltonJacobi theory in quantum mechanics”, Can. J. Phys. 77, 411425 1999 .

10、总结和定论

咱们上面现已评论了九种不同办法的量子力学。在这个进程中咱们学到了什么?或许咱们在经典力学中现已领教过了,并且在日常日子中也学到过,即:“没有全能药”。这儿的每一种办法都会在一些运用上更简略或许理论的某些方面更清楚,可是没有一个办法能够成为“通往量子力学的捷径”。量子力学在咱们经典的眼睛中看起来很古怪,所以当直觉诈骗咱们时,咱们选用数学作为咱们的牢靠攻略。这几个各种办法的量子力学能够重新组织这种奇异性,但它们不能把这种奇异性给消除去。

矩阵办法,被发现的榜首种办法,在处理谐振子和角动量问题中很有用,但用来处理其它问题就比较困难了。最盛行的波函数办法是处理问题的规范办法,但却给人留下一个概念上的过错形象——让人误以为波函数是一个物理实体,而不是一个数学东西。途径积分办法在物理上是吸引人的,且能够推行到超出非相对论量子力学的范畴傍边去,但其大多数的运用上都是很吃力的。相空间办法在考虑经典极限时是很有用的。密度矩阵办法能够很简略地处理混合态,所以它在统计力学中有特其他价值。这对二次量子化办法也是正确的,特别是当体系包含许多全同粒子时,二次量子化尤为重要。变分办法在运用上很少会是一个好的东西,但在把量子力学推行到未知范畴却有着很大的价值。导航波办法给出了一些概念性的问题。而哈密顿-雅可比办法则便利咱们去处理其他一些难处理的束缚态问题。

咱们很幸运地沪a00001日子在这样一个国际,天然供给给咱们了这样的赏赐。

三、附加问题

本节评论两种量子力学的诠释(这两种诠释也或许会被视作量子力学的办法),然后简略评论一点四个其他内容。

1、多国际诠释(埃弗雷特(Everett))

多国际诠释处在“办法”和“诠释”的边际—事实上其创始人休.埃弗雷特(Hugh Everett)称之为“相对态办法”,不过布莱斯.德威特(Bryce DeWitt)给它命名的“多国际诠释”撒播更广。

在这种诠释中,没有“波函数的塌缩”这回事。这个时分问题从“国际中发作了什么?”变成“一个特定的故事线上发上了什么?”。这种观念的改动能够用一个比如很好地阐明:假如一个女科学家不能下定决心是成婚仍是推掉婚约,她没有抛硬币来决议,而是将一个圆偏振的光子发射到偏振片上,假如从偏振片中出来一个线偏的光子,光子探测器将记载下这个信号,并触发一个铃铛响起。这个女科学家事前决议,假如铃响她就出嫁;不然她就坚持独身。在波尔的量子力学版别中,问题将是“发作了什么”,答案是这个女科学家有50%的或许成婚,50%的或许推掉婚约。而在埃弗雷特的版别中,问“发作了什么”是不正确的,由于这两件事都发作了:有一条故事线是线偏光子射出,铃响,成婚;而还有另一条故事线,光子被吸收,没有铃响,婚约停止。每一条故事线都是存在的。要想知道咱们日子在哪一条故事线上,咱们只需求简略地看一下这个科学家的婚姻状况即可。假如她成婚了,那么咱们就日子在那条线偏光子射出继而铃响的故事线上;不然便是日子在另一条故事线上。“发作了什么”这个问题是不恰当的——咱们应该问“在一条特定的故事线上发作了什么”。(就像问“到芝加哥有多远”这个问题是不恰当的,而应当问“从旧金山到芝加哥又多远”相同)

在这个相对态办法中,波函数历来都没塌缩——它仅仅一向地这么分叉下去。而每一个分支都是相容的,没有哪个分枝比其他分枝更好。(在多国际版别中,咱们说共存分支国际,而不是多故事线。)归纳来说,相对态理论更着重相关性,而防止塌缩。

运用

相对态办法在数学上等价于波函数办法。所以并没有任何技术上的原因使咱们挑选一个而不选另一个。可是另一方面,咱们发现相对态办法的概念方面,对是否会变成不活泼的基态有深入的解说。例如,大卫.多伊奇在1985年的论文(该论文催生了量子核算这个肥美的范畴)赤铁之心中他表达了自己的观念:“除了埃弗雷特的解说外,其他一切的量子理论的解说对量子核算性质的直观阐明都是无法忍受的。”

56. D. Deutsch, ""Quantum theory, the Church-Turing principle and the uni- versal quantum computer,"" Proc. R. Soc. London, Ser. A 400, 97117 1985 .

引荐参阅

57. H. Everett III, "" "Relative state" formulation of quantum mechanics,"" Rev. Mod. Phys. 29, 454462 1957 .

58. B. S. DeWitt and N. Graham, in The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics Princeton University Press, Princeton, NJ, 1973 .

59. Y. Ben-Dov, ""Everett"s theory and the "many-worlds" interpretation,"" Am. J. Phys. 58, 829832 1990 .

60. B. S. DeWitt, ""Quantum mechanics and reality,"" Phys. Today 23, 3035 Septr 1970 .

61. L. E. Ballentine, P. Pearle, E. H. Walker, M. Sachs, T. Koga, J. Gerver, and B. DeWitt, ""Quantum mechanics debate,"" Phys. Today 24, 3644 April 1971 .

2、买卖诠释(克莱默)

买卖诠释(The Transactional Interpretation)是比较清楚和有价值的,但却很难用一个简略的攻略来描绘这种诠释,所以许多调查过这种诠释的人觉得它有点儿奇怪。假如咱们这儿简略的介绍让你发作了误解,那么强烈主张你查阅一下参阅文献。

在买卖诠释中,源和探测器,假定是电子,它会发射出推迟波(retarded wave)(顺着时刻跋涉)和超前波(advanced wave)(逆着时刻跋涉),构成驻波。一个由源向探测器移动的电子,包含一个从源动身的“出价波”(Offer Wave,相应于)和一个从探测器动身的“承认波”(Confirmation Wave,相应于),它们彼此干与发作一个“跨时空的握手”。在电子还没有离开源之前,两个波之间破坏性的干与(此刻两者彼此抵消)会保证电子不或许抵达探测器;在电子宣布之后,其建设性的干与会在源和探测器之间构成一个具有完好振幅的波,两个波之间买卖的程度决议了粒子撞击到探测器上的概率。

运用

依据克莱默的说法,“买卖诠释……和传统的量子力学(即动摇办法)猜测的成果没什么差异……咱们发现它作为决议用哪些量子力学核算的攻略更有用,而不是去做这种核算……买卖诠释的首要用途是作为一个概念模型,为用户供给了一种办法,使得用户有一个清楚的可视化的杂乱量子进程,并能快速剖析看似“对立”的情境。在对那些至今依然很奥秘的量子现象的直觉了解方面,买卖诠释看起来也是有很大价值的。”例如,在买卖诠释中,波函数坍缩不会呈现在任何一个特定的时刻点,而是“非时刻性的”(atemporal),发作于整个买卖进程——出价波与承认波发作交互效果地点的时空区域。这些波被视为在物理上是实在存在的,而不是一个数学道具。

全同粒子

买卖诠释的评论通常在单粒子量子力学的布景下进行的。咱们不清楚的是,在一个二粒子体系中是否有两个“跨时空的握手”或许一个“共形时空的握手”。因而,咱们在此无法解说买卖诠释怎么差异玻色子和费米子。

引荐参阅

62. J. G. Cramer, ""The transactional interpretation of quantum mechanics,"" Rev. Mod. Phys. 58, 647687 1986 .

63. J. G. Cramer, ""An overview of the transactional interpretation of quan- tum mechanics,"" Int. J. Theor. Phys. 27, 227236 1988 .

64. J. G. Cramer, ""Generalized absorber theory and the EinsteinPodolskyRosen dox,"" Phys. Rev. D 22, 362376 1980 .

原文来历:DOI: 10.1119/1.1445404

作者

Daniel F. Styer .etc

翻译

Camel

审校

陈星

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